Analytical Mechanics

Euler-Lagrange 方程 $$\dfrac {\mathrm d}{\mathrm dt} \dfrac {\partial L}{\partial \dot q_i} - \dfrac {\partial L}{\partial q_i} = 0.$$ 正则动量 $$p_i = \dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i},\quad \dot p_i = \dfrac {\partial L}{\partial q_i}.$$ Hamiltonian，可以对于正则 Lagrangian 定义 $$H(q,p,t) = \sum_i p_i \dot q_i - L(q, \dot q, t)=\sum_i p_i \dot q_i - L(q, p, t).$$ Hamilton 方程 $$\dot q_i = \dfrac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot p_i = -\dfrac{\partial H}{\partial q_i},\quad \dfrac{\partial H}{\partial t} = -\dfrac{\partial L}{\partial t}.$$ 相空间作用量原理* ...

问题 1：对称陀螺的 Liouville 可积性 考虑一个绕固定点自由旋转的对称陀螺（无平动，仅含转动自由度）。设固定点为 $O$，陀螺关于其对称轴的转动惯量为 $I_3$，关于垂直于对称轴的两个主轴的转动惯量相等，$I_1=I_2$。用 Euler 角 $(\phi,\theta,\psi)$ 描述陀螺的取向，其中 $\phi$ 为进动角，$\theta$ 为章动角，$\psi$ 为自转角。在 Euler 角下，对称陀螺的 Hamiltonian 为 $$H(\phi,\theta,\psi,p_\phi,p_\theta,p_\psi) = \frac{p_\theta^2}{2I_1} + \frac{(p_\phi - p_\psi \cos\theta)^2}{2I_1 \sin^2\theta} + \frac{p_\psi^2}{2I_3},$$ 其中正则动量为 $$p_\phi = \dfrac {\partial L}{\partial \dot \phi},\quad p_\theta=\dfrac {\partial L}{\partial \dot \theta},\quad p_\psi=\dfrac {\partial L}{\partial \dot \psi}.$$(a) 指出 $H$ 中不出现的循环坐标，并写出相应的守恒量。验证它们确实是运动常数。 (b) 写出该系统的三个守恒量 $F_1,F_2,F_3$（其中一个为 $H$ 本身）。显式计算它们两两之间的 Poisson 括号，证明它们相互对合： $$\{F_i,F_j\}=0,\quad i,j=1,2,3.$$(c) 论证这三个守恒量是函数独立的，从而得出结论：该对称陀螺是 Liouville 可积的。 解： (a) Hamiltonian $H$ 中显式不出现的循环坐标是 $\phi,\psi$，对应的守恒量为 $p_\phi,p_\psi$，现在用 Poisson 括号验证它们是运动常数，这里标号 $\phi,\psi,\theta$ 分别为 $1,2,3$，则 ...

问题 1：两粒子系统与质心运动 考虑一维空间中质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的两个粒子，它们通过仅依赖于相对距离的势能相互作用： $$H(q_1, q_2, p_1, p_2) = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + V(q_1 - q_2),$$(a) 通过计算 $\{G,H\}$，证明总动量 $$G=p_1 + p_2$$ 是一个守恒量。 (b) 质心坐标定义为 $$Q_{\mathrm{cm}}=\dfrac {m_1 q_1 + m_2 q_2}{m_1 + m_2}.$$ 证明量 $$G'=(m_1+m_2)Q_{\mathrm{cm}}-(p_1 + p_2)t$$ 也是守恒的。 (c) 解释 $G'$ 守恒的物理意义。 解： (a) $H$ 作为 Hamiltonian，满足 $$\dfrac {\partial H}{\partial p_1} = \dfrac{p_1}{m_1}, \quad \dfrac{\partial H}{\partial p_2} = \dfrac{p_2}{m_2},\quad \dfrac{\partial H}{\partial q_1} = V'(q_1 - q_2), \quad \dfrac{\partial H}{\partial q_2} = -V'(q_1 - q_2).$$ 所以 ...

问题 1：周期 Toda 链（$A_1$ 型） $A_1$ 型周期 Toda 链（最简单的秩一情形）描述两个在圆周上运动、通过指数型最近邻势相互作用的粒子。设 $q_1,q_2$ 为它们的坐标，$p_1,p_2$ 为对应的共轭动量。Hamilton 量为 $$H(q_1,q_2,p_1,p_2) =\frac {p_1^2} {2} + \frac {p_2^2} {2} + e^{q_2 - q_1} + e^{q_1 - q_2}.$$(a) 写出 Hamilton 的正则方程 $$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}.$$(b) 证明总动量 $P = p_1 + p_2$ 守恒。 (c) 引入质心与相对坐标 $$Q = \frac{q_1 + q_2}{2}, \quad q = q_1 - q_2,\quad P = p_1 + p_2, \quad p = \frac{p_1 - p_2}{2}.$$ 用这些新变量写出 Hamilton 量，并求出运动方程。 ...