Partial Differential Equations

$W^{m,p}$ 回忆广义函数空间 $\mathcal D(\Omega)$ 上的对偶元素构造。给定任意 $f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$，存在线性映射 $$T:\mathcal D(\Omega)\to \mathcal D^*(\Omega),\quad \varphi\mapsto\left(T_f:\varphi\mapsto \int_{\Omega} f\varphi\mathrm dx\right).$$在 Lebesgue 意义下（默认）是单射： $T$ 是单射：对任意 $f,g\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$，如果 $T_f=T_g$，则 $f=g$. 这等价于说明 $T_f=0$，即 $$\langle T_f,\varphi\rangle = \int_{\Omega} f\varphi\mathrm dx=0,\quad \forall \varphi\in \mathcal D(\Omega),$$ 可以推出 $f=0$，这是变分法基本引理的 Lebesgue 版本。考虑截断空间和 Friedrichs 磨光核，则 $$f*\rho_\varepsilon(x)=\int_{\Omega} f(y)\rho_\varepsilon(x-y)\mathrm dy=\langle T_f,\rho_\varepsilon(x-\cdot)\rangle=0$$ 接下来只需证明，对于任意有界开集 $U\subseteq\Omega$，有 $\|f\|_{L^1(U)}=0$，这是因为 $$f(x)-f*\rho_\varepsilon(x)=\int_{\Omega} (f(x)-f(x-y))\rho_\varepsilon(y)\mathrm dy,$$ 因此有 Minkowski 不等式 $$\|f-f*\rho_\varepsilon\|_{L^1(U)}\leq \int_{\Omega} \|f(\cdot)-f(\cdot-y)\|_{L^1(U)}\rho_\varepsilon(y)\mathrm dy\leq \sup_{|y|\leq \varepsilon} \|f(\cdot)-f(\cdot-y)\|_{L^1(U)}.$$ 由 $L^1$ 的平移连续性，取 $\varepsilon\to 0$，结合 $f*\rho_\varepsilon=0$ 即可。 我们还需要指出，$L^p(\Omega)\subseteq L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$，对任意 $1\leq p\leq \infty$，这是因为 Hölder 不等式 ...

传递、混合、压缩、扩张 设 $f:S\to S,\ g:T\to T$ 是连续映射，如果有同胚 $h:S\to T$ 使得 $h\circ f=g\circ h$，则称 $f,g$ 拓扑共轭，$h$ 是共轭映射；如果除去 $h$ 的同胚条件，只保留满射，则称 $g$ 是 $f$ 的因子，$h$ 是半共轭映射。 稠密与周期 考虑 $S^1\cong \mathbb R/\mathbb Z$ 上的旋转映射（这等价于） $$x\mapsto x+\alpha\mod 1.$$ 根据有理性分类轨道： $$\# \mathcal O(x)=\begin{cases}\infty, & \alpha\in \mathbb R\setminus \mathbb Q,\\[6pt]<\infty, & \alpha\in \mathbb Q.\end{cases},\quad \forall x\in S^1.$$ 特别地，由 Weyl 定理，$\overline {\mathcal O(x)}=S^1$ 当且仅当 $\alpha\in \mathbb R\setminus \mathbb Q$. 设 $f\in C(X)$，如果存在 $x\in X$ 使得双向轨道 $\mathcal O(x)=\{f^n(x)\}_{n\in\mathbb Z}$ 在 $X$ 中稠密，则称 $f$ 是拓扑传递的；如果对于任意 $x\in X$，都有 $\overline {\mathcal O(x)}=X$，则称 $f$ 是拓扑极小的。其中 $f$ 不一定是同胚，因此 $f^{-n}$ 表示取 $n$ 次原像。 ...

极值原理 弱极值原理 强极值原理 调和函数 设 $\Omega \subseteq \mathbb R^d$ 是开区域，如果 $u\in C^2(\Omega)$ 满足 $\Delta u=0$，则称 $u$ 是 $\Omega$ 上的调和函数，记作 $u\in \mathcal H(\Omega)$。调和函数是 Laplace 方程的解，继承其性质。 球面平均性 球面平均性：如果 $u\in \mathcal H(\Omega)$，则对任意 $r\in (0,R]$ 和 $x\in \Omega$ 满足 $B_R(x)\subseteq \Omega$，有 $$u(x)=\frac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} u(y)\mathrm dS=\dfrac 1{|B_r(0)|}\int_{B_r(x)} u(y)\mathrm dy=: h(x;r).$$ 反过来，如果 $u\in C^2(\Omega)$ 在 $x\in \Omega$ 满足上述球面平均性，则 $\Delta u(x)=0$. 从连续性出发 $$u(x)=\lim_{r\to 0}\frac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} u(y)\mathrm dS=\lim_{r\to 0}\dfrac 1{|\partial B_1(0)|}\int_{\partial B_1(0)} u(x+ry)\mathrm dS=:\lim_{r\to 0} h(x;r).$$ 考虑含参积分 ...

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。 pp212.15 设 $u\in C^3_0(\Omega)$ 且满足 $$-\Delta u=f(x),\quad x\in\Omega,$$ 证明 $$\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u^2_{x_ix_j}\mathrm dx\leq n\int_\Omega f^2\mathrm dx.$$解： 考虑到其紧支性，作分部积分，再由光滑性交换偏导次序 $$\begin{darray}{ll}\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u^2_{x_ix_j}\mathrm dx&=\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_j}u_{x_ix_j}\mathrm dx\\[14pt]&=-\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_jx_j}u_{x_i}\mathrm dx\\[14pt]&=\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_i}u_{x_jx_j}\mathrm dx\\[14pt]&=\int_\Omega \Delta^2 u\mathrm dx\\[14pt]&=\int_\Omega f^2\mathrm dx.\end{darray}$$这应更严格。 pp212.16 设 $\Omega=\{(x,y):0...

位势方程 一些基本的结果： 基本解：在 $\mathbb R^n$ 上，位势方程 $-\Delta u=f(x)$ 的基本解 $-\Delta E=\delta(x)$ 满足 $$E(x)=\begin{dcases} -\frac{1}{2\pi}\log|x|,&n=2,\\[14pt] \frac{1}{(n-2)S_{n-1}|x|^{n-2}},&n\geq 3, \end{dcases}$$ 尽管基本解 $E$ 在 $x=0$ 处有奇点，但通过球坐标变换 $$\int_{|x|<\varepsilon} E(x)\mathrm dx=\int_0^\varepsilon\int_{\Theta}E(r)J(\Theta)r^{n-1}\mathrm d\Theta\mathrm dr\to 0,\quad \varepsilon\to 0,$$ 其中 $J(\Theta)$ 是球坐标变换的 Jacobian 的角度部分。因此 $E\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$；另外 $$\nabla E(x)=-\dfrac 1{S_{n-1}}\dfrac x{|x|^n},\quad \forall n\geq 2,$$ 这推出 $\nabla E\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$，因为 $$\int_{|x|<\varepsilon} |\nabla E(x)|\mathrm dx=\int_0^\varepsilon\int_{\Theta}\dfrac {J(\Theta)}{S_{n-1}}\mathrm d\Theta\mathrm dr=\int_0^\varepsilon\mathrm dr=\varepsilon,$$ 如果我们进一步求二阶微分 $$|\nabla^2 E(x)|=\dfrac 1{S_{n-1}}\left|\dfrac n{|x|^n}\dfrac {xx^T}{|x|^2}-\dfrac 1{|x|^n}I\right|\sim \dfrac 1{|x|^n},$$ 这推出 $\nabla^2 E\notin L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$，因为 ...

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚；《数学物理方程》（第三版），谷超豪。 J.pp162.5(1)(3)(5) 证明在 $\mathcal D'(\mathbb R)$ 意义下： $\varphi(x)\delta(x)=\varphi(0)\delta(x)$； $x\delta^{(m)}(x)=-m\delta^{(m-1)}(x)$； $(H(x)\rho(x))'=\delta(x)\rho(0)+H(x)\rho'(x)$ 其中 $H(x)$ 是 Heaviside 函数，$\rho,\varphi\in C^\infty(\mathbb R)$. 解： (1) 这里 $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$，作为乘子作用在 $\delta$ 上。取任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，则 $$\langle \varphi(x)\delta(x),\psi\rangle =\langle \delta(x),\varphi(x)\psi\rangle =\varphi(0)\psi(0)=\langle \varphi(0)\delta(x),\psi\rangle.$$ (3) 对于任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，这里用到算子导数： $$\begin{darray}{ll}\langle x\delta^{(m)}(x),\psi\rangle &=\langle \delta^{(m)}(x),x\psi\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}\langle \delta(x),(x\psi)^{(m)}\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}\langle \delta(x),\psi^{(m)}x+m\psi^{(m-1)}\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}m\langle \delta(x),\psi^{(m-1)}\rangle \\[12pt]&=\langle -m\delta^{(m-1)}(x),\psi\rangle.\end{darray}$$ (5) 对于任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，同上（乘子是交换的） $$\begin{darray}{ll}\langle (H(x)\rho(x))',\psi\rangle &= \langle (\rho(x)H(x))',\psi\rangle \\[12pt]&= -\langle H(x),\rho(x)\psi'\rangle \\[12pt]&= -\int_0^\infty \rho(x)\psi'(x)\mathrm dx\\[12pt]&= -\psi(0)\rho(0)+\int_0^\infty \rho'(x)\psi(x)\mathrm dx\\[12pt]&= \langle \delta(x)\rho(0)+H(x)\rho'(x),\psi\rangle.\end{darray}$$J.pp162.6 计算 ...

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。 pp160.4 应用 Fourier 变换求解以下定解问题： $\begin{cases}u_t-a^2u_{xx}-bu_x-cu=f(x,t),&x\in\mathbb R,t>0,\$$14pt] u(x,0)=\varphi(x),&x\in\mathbb R.\end{cases}$ 其中 $a,b,c$ 是常数； $\begin{cases}u_{xx}+u_{yy}=0,&x\in\mathbb R,y>0,\\[14pt] u(x,0)=\varphi(x),&x\in\mathbb R.\end{cases}$ 设 $\varphi(x)$ 连续有界，求问题的有界解。 解： 求解是在速降空间 $S(\mathbb R)$ 中进行的。 (1) 应用 Fourier 变换，得到 [\begin{darray}{ll}Ff&=Fu_t-a^2Fu_{xx}-bFu_x-cFu\[14pt] &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}Fu+a^2\xi^2Fu-ib\xi Fu-cFu\[14pt] &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}Fu+\bigl(a^2\xi^2-ib\xi-c\bigr)Fu.\end{darray} $$ 将 $F[u](\xi)$ 看作 $t$ 的函数（$\xi$ 为参数）$F[u](\xi)=F[u](\xi,t)$，得到一个常系数线性微分方程，解为（Duhamel 原理） $$Fu=e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}\left(F\varphi+\int^t_0e^{(a^2\xi^2-ib\xi-c)\tau}Ff\mathrm d\tau\right). $$ 再应用 Fourier 反演，得到 $$u(x,t)=F^{-1}[e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}F\varphi](x)+F^{-1}\left[\int^t_0e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)(t-\tau)}Ff\mathrm d\tau\right](x). $$ 首先求解热核 $$F^{-1}e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}=\frac 1{\sqrt {2\pi}}\int^\infty_{-\infty}e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}e^{ix\xi}\mathrm d\xi=\frac {e^{-\frac {(x+bt)^2}{4a^2t}+ct}}{a\sqrt {2t}}:=G(x,t). $$ 由卷积公式 $$F^{-1}\hat G\cdot \hat \varphi=G*\varphi(x)=\int^\infty_{-\infty}G(x-y,t)\varphi(y)\mathrm dy=\int^\infty_{-\infty}\frac {e^{ct}}{a\sqrt {2t}}e^{-\frac {(x-y+bt)^2}{4a^2t}}\varphi(y)\mathrm dy. ...