Partial Differential Equations on Yukari's Blog

Sobolev 空间和弱导数

Mon, 01 Jun 2026 00:00:00 +0000

$W^{m,p}$

回忆广义函数空间 $\mathcal D(\Omega)$ 上的对偶元素构造。给定任意 $f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$，存在线性映射

$$T:\mathcal D(\Omega)\to \mathcal D^*(\Omega),\quad \varphi\mapsto\left(T_f:\varphi\mapsto \int_{\Omega} f\varphi\mathrm dx\right).$$

在 Lebesgue 意义下（默认）是单射：

$T$ 是单射：对任意 $f,g\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$，如果 $T_f=T_g$，则 $f=g$.

这等价于说明 $T_f=0$，即

$$\langle T_f,\varphi\rangle = \int_{\Omega} f\varphi\mathrm dx=0,\quad \forall \varphi\in \mathcal D(\Omega),$$

可以推出 $f=0$，这是变分法基本引理的 Lebesgue 版本。考虑截断空间和 Friedrichs 磨光核，则

$$f*\rho_\varepsilon(x)=\int_{\Omega} f(y)\rho_\varepsilon(x-y)\mathrm dy=\langle T_f,\rho_\varepsilon(x-\cdot)\rangle=0$$

接下来只需证明，对于任意有界开集 $U\subseteq\Omega$，有 $\|f\|_{L^1(U)}=0$，这是因为

$$f(x)-f*\rho_\varepsilon(x)=\int_{\Omega} (f(x)-f(x-y))\rho_\varepsilon(y)\mathrm dy,$$

因此有 Minkowski 不等式

$$\|f-f*\rho_\varepsilon\|_{L^1(U)}\leq \int_{\Omega} \|f(\cdot)-f(\cdot-y)\|_{L^1(U)}\rho_\varepsilon(y)\mathrm dy\leq \sup_{|y|\leq \varepsilon} \|f(\cdot)-f(\cdot-y)\|_{L^1(U)}.$$

由 $L^1$ 的平移连续性，取 $\varepsilon\to 0$，结合 $f*\rho_\varepsilon=0$ 即可。

我们还需要指出，$L^p(\Omega)\subseteq L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$，对任意 $1\leq p\leq \infty$，这是因为 Hölder 不等式

Workshop

Mon, 01 Jun 2026 00:00:00 +0000

传递、混合、压缩、扩张

设 $f:S\to S,\ g:T\to T$ 是连续映射，如果有同胚 $h:S\to T$ 使得 $h\circ f=g\circ h$，则称 $f,g$ 拓扑共轭，$h$ 是共轭映射；如果除去 $h$ 的同胚条件，只保留满射，则称 $g$ 是 $f$ 的因子，$h$ 是半共轭映射。

稠密与周期

考虑 $S^1\cong \mathbb R/\mathbb Z$ 上的旋转映射（这等价于）

$$x\mapsto x+\alpha\mod 1.$$

根据有理性分类轨道：

$$\# \mathcal O(x)=\begin{cases}\infty, & \alpha\in \mathbb R\setminus \mathbb Q,\\[6pt]<\infty, & \alpha\in \mathbb Q.\end{cases},\quad \forall x\in S^1.$$

特别地，由 Weyl 定理，$\overline {\mathcal O(x)}=S^1$ 当且仅当 $\alpha\in \mathbb R\setminus \mathbb Q$.

设 $f\in C(X)$，如果存在 $x\in X$ 使得双向轨道 $\mathcal O(x)=\{f^n(x)\}_{n\in\mathbb Z}$ 在 $X$ 中稠密，则称 $f$ 是拓扑传递的；如果对于任意 $x\in X$，都有 $\overline {\mathcal O(x)}=X$，则称 $f$ 是拓扑极小的。其中 $f$ 不一定是同胚，因此 $f^{-n}$ 表示取 $n$ 次原像。

调和函数与极值原理

Mon, 01 Jun 2026 00:00:00 +0000

极值原理

弱极值原理

强极值原理

调和函数

设 $\Omega \subseteq \mathbb R^d$ 是开区域，如果 $u\in C^2(\Omega)$ 满足 $\Delta u=0$，则称 $u$ 是 $\Omega$ 上的调和函数，记作 $u\in \mathcal H(\Omega)$。调和函数是 Laplace 方程的解，继承其性质。

球面平均性

球面平均性：如果 $u\in \mathcal H(\Omega)$，则对任意 $r\in (0,R]$ 和 $x\in \Omega$ 满足 $B_R(x)\subseteq \Omega$，有
$$u(x)=\frac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} u(y)\mathrm dS=\dfrac 1{|B_r(0)|}\int_{B_r(x)} u(y)\mathrm dy=: h(x;r).$$
反过来，如果 $u\in C^2(\Omega)$ 在 $x\in \Omega$ 满足上述球面平均性，则 $\Delta u(x)=0$.

从连续性出发

$$u(x)=\lim_{r\to 0}\frac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} u(y)\mathrm dS=\lim_{r\to 0}\dfrac 1{|\partial B_1(0)|}\int_{\partial B_1(0)} u(x+ry)\mathrm dS=:\lim_{r\to 0} h(x;r).$$

考虑含参积分

偏微分方程习题 12

Sun, 31 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。

pp212.15

设 $u\in C^3_0(\Omega)$ 且满足

$$-\Delta u=f(x),\quad x\in\Omega,$$

证明

$$\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u^2_{x_ix_j}\mathrm dx\leq n\int_\Omega f^2\mathrm dx.$$

解：考虑到其紧支性，作分部积分，再由光滑性交换偏导次序

$$\begin{darray}{ll}\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u^2_{x_ix_j}\mathrm dx&=\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_j}u_{x_ix_j}\mathrm dx\\[14pt]&=-\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_jx_j}u_{x_i}\mathrm dx\\[14pt]&=\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_i}u_{x_jx_j}\mathrm dx\\[14pt]&=\int_\Omega \Delta^2 u\mathrm dx\\[14pt]&=\int_\Omega f^2\mathrm dx.\end{darray}$$

这应更严格。

pp212.16

设 $\Omega=\{(x,y):0

在 $Oy$ 轴上温度的值为 $v_0$，在 $\partial \Omega$ 的其他边上温度的值为 $0$；
在 $x=a,y=b$ 上绝热，在 $x=0,y=0$ 上温度的值分别为 $0$ 和 $1$；
在 $x=a,y=b$ 上温度的值为 $0$，而 $$u|_{x=0}=A\sin \dfrac {\pi y}{b},\quad u|_{y=0}=B\sin \dfrac{\pi x}{a},$$ 其中 $A,B$ 为常数。

解：热传导方程为

$$u_t-a^2\Delta u=f(x,y,t),\quad (x,y)\in \Omega,\ t>0.$$

则稳定的温度场，在分离变量假设 $u(x,y)=X(x)Y(y)$ 下满足

位势方程与 Green 公式

Wed, 27 May 2026 00:00:00 +0000

位势方程

一些基本的结果：

基本解：在 $\mathbb R^n$ 上，位势方程 $-\Delta u=f(x)$ 的基本解 $-\Delta E=\delta(x)$ 满足
$$E(x)=\begin{dcases} -\frac{1}{2\pi}\log|x|,&n=2,\\[14pt] \frac{1}{(n-2)S_{n-1}|x|^{n-2}},&n\geq 3, \end{dcases}$$

尽管基本解 $E$ 在 $x=0$ 处有奇点，但通过球坐标变换

$$\int_{|x|<\varepsilon} E(x)\mathrm dx=\int_0^\varepsilon\int_{\Theta}E(r)J(\Theta)r^{n-1}\mathrm d\Theta\mathrm dr\to 0,\quad \varepsilon\to 0,$$

其中 $J(\Theta)$ 是球坐标变换的 Jacobian 的角度部分。因此 $E\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$；另外

$$\nabla E(x)=-\dfrac 1{S_{n-1}}\dfrac x{|x|^n},\quad \forall n\geq 2,$$

这推出 $\nabla E\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$，因为

$$\int_{|x|<\varepsilon} |\nabla E(x)|\mathrm dx=\int_0^\varepsilon\int_{\Theta}\dfrac {J(\Theta)}{S_{n-1}}\mathrm d\Theta\mathrm dr=\int_0^\varepsilon\mathrm dr=\varepsilon,$$

如果我们进一步求二阶微分

$$|\nabla^2 E(x)|=\dfrac 1{S_{n-1}}\left|\dfrac n{|x|^n}\dfrac {xx^T}{|x|^2}-\dfrac 1{|x|^n}I\right|\sim \dfrac 1{|x|^n},$$

这推出 $\nabla^2 E\notin L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$，因为

偏微分方程习题 11

Sun, 17 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚；《数学物理方程》（第三版），谷超豪。

J.pp162.5(1)(3)(5)

证明在 $\mathcal D'(\mathbb R)$ 意义下：

$\varphi(x)\delta(x)=\varphi(0)\delta(x)$；
$x\delta^{(m)}(x)=-m\delta^{(m-1)}(x)$；
$(H(x)\rho(x))'=\delta(x)\rho(0)+H(x)\rho'(x)$

其中 $H(x)$ 是 Heaviside 函数，$\rho,\varphi\in C^\infty(\mathbb R)$.

解： (1) 这里 $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$，作为乘子作用在 $\delta$ 上。取任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，则

$$\langle \varphi(x)\delta(x),\psi\rangle =\langle \delta(x),\varphi(x)\psi\rangle =\varphi(0)\psi(0)=\langle \varphi(0)\delta(x),\psi\rangle.$$

(3) 对于任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，这里用到算子导数：

$$\begin{darray}{ll}\langle x\delta^{(m)}(x),\psi\rangle &=\langle \delta^{(m)}(x),x\psi\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}\langle \delta(x),(x\psi)^{(m)}\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}\langle \delta(x),\psi^{(m)}x+m\psi^{(m-1)}\rangle \\[12pt]&=(-1)^{m}m\langle \delta(x),\psi^{(m-1)}\rangle \\[12pt]&=\langle -m\delta^{(m-1)}(x),\psi\rangle.\end{darray}$$

(5) 对于任意 $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$，同上（乘子是交换的）

$$\begin{darray}{ll}\langle (H(x)\rho(x))',\psi\rangle &= \langle (\rho(x)H(x))',\psi\rangle \\[12pt]&= -\langle H(x),\rho(x)\psi'\rangle \\[12pt]&= -\int_0^\infty \rho(x)\psi'(x)\mathrm dx\\[12pt]&= -\psi(0)\rho(0)+\int_0^\infty \rho'(x)\psi(x)\mathrm dx\\[12pt]&= \langle \delta(x)\rho(0)+H(x)\rho'(x),\psi\rangle.\end{darray}$$

J.pp162.6

计算

偏微分方程习题 10

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。

pp160.4

应用 Fourier 变换求解以下定解问题：

$\begin{cases}u_t-a^2u_{xx}-bu_x-cu=f(x,t),&x\in\mathbb R,t>0,\$$14pt] u(x,0)=\varphi(x),&x\in\mathbb R.\end{cases}$

其中 $a,b,c$ 是常数；

$\begin{cases}u_{xx}+u_{yy}=0,&x\in\mathbb R,y>0,\\[14pt] u(x,0)=\varphi(x),&x\in\mathbb R.\end{cases}$

设 $\varphi(x)$ 连续有界，求问题的有界解。

解：求解是在速降空间 $S(\mathbb R)$ 中进行的。

(1) 应用 Fourier 变换，得到 [\begin{darray}{ll}Ff&=Fu_t-a^2Fu_{xx}-bFu_x-cFu\[14pt] &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}Fu+a^2\xi^2Fu-ib\xi Fu-cFu\[14pt] &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}Fu+\bigl(a^2\xi^2-ib\xi-c\bigr)Fu.\end{darray}

$$ 将 $F[u](\xi)$ 看作 $t$ 的函数（$\xi$ 为参数）$F[u](\xi)=F[u](\xi,t)$，得到一个常系数线性微分方程，解为（Duhamel 原理） $$

Fu=e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}\left(F\varphi+\int^t_0e^{(a^2\xi^2-ib\xi-c)\tau}Ff\mathrm d\tau\right).

$$ 再应用 Fourier 反演，得到 $$

u(x,t)=F^{-1}[e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}F\varphi](x)+F^{-1}\left[\int^t_0e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)(t-\tau)}Ff\mathrm d\tau\right](x).

$$ 首先求解热核 $$

F^{-1}e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}=\frac 1{\sqrt {2\pi}}\int^\infty_{-\infty}e^{-(a^2\xi^2-ib\xi-c)t}e^{ix\xi}\mathrm d\xi=\frac {e^{-\frac {(x+bt)^2}{4a^2t}+ct}}{a\sqrt {2t}}:=G(x,t).

$$ 由卷积公式 $$

F^{-1}\hat G\cdot \hat \varphi=G*\varphi(x)=\int^\infty_{-\infty}G(x-y,t)\varphi(y)\mathrm dy=\int^\infty_{-\infty}\frac {e^{ct}}{a\sqrt {2t}}e^{-\frac {(x-y+bt)^2}{4a^2t}}\varphi(y)\mathrm dy.

无界区域的热传导方程

Sat, 16 May 2026 00:00:00 +0000

Partial Differential Equations on Yukari's Blog

Sobolev 空间和弱导数

$W^{m,p}$

Workshop

稠密与周期

调和函数与极值原理

极值原理

弱极值原理

强极值原理

调和函数

球面平均性

偏微分方程 习题 12

pp212.15

pp212.16

位势方程与 Green 公式

位势方程

偏微分方程 习题 11

J.pp162.5(1)(3)(5)

J.pp162.6

偏微分方程 习题 10

pp160.4

无界区域的热传导方程

偏微分方程习题 12

偏微分方程习题 11

偏微分方程习题 10