需要记住的重要结论
反函数、隐函数、秩定理、Heine归结
Darboux 导函数介值定理、中值定理（Lagrange、Cauchy、积分）、导数极限定理、Taylor 公式（Peano、Lagrange、Cauchy、积分）、L’Hospital 法则、凸函数（在不同光滑条件下的等价定义）
一元微积分
- Carathéodory 定义：函数 $f$ 在 $x_0$ 处可导，当且仅当存在函数 $\phi$ 在 $x_0$ 处连续，且 $$f(x)-f(x_0)=\phi(x)(x-x_0).$$
- 一阶微分的形式不变性：对于 $y(x),x(t)$ 可导，则成立 $$\mathrm dy=y'(x(t))x'(t)\mathrm dt=y'(x)\mathrm dx.$$
不定积分公式
$$\int \sqrt {x^2\pm a^2}\mathrm dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm \frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C.$$$$\int \csc^2x\mathrm dx=-\cot x+C.$$积分公式
- Legrendre 多项式、Chebyshev 多项式、Hermite 多项式、Laguerre 多项式、Bessel 函数、Gamma 函数、Beta 函数、Riemann ζ 函数
多元微积分
- Lebesgue 定理在 $\mathbb R^n$ 的紧集上仍然成立。
- 可求面积的定义本质是 Darboux 上下积分，同时引出的零面积集说明在积分中可以忽略 Lebesgue 零测集（真包含于零面积集）的影响。
对称性。
重积分换元公式。【看书】
Stokes 公式
Fubini
参考题（谢惠民）
例题 22.2.2 对于常义重积分，只要能找到一个合适的累次积分次序，就可以用累次积分来计算重积分，
例题 22.2.8 由于 $\cos^4\theta/\sin^4\theta$ 仍然能表示所有斜率，所以对于第一象限是双射（单射显然），所以广义极坐标变换成立。对于极坐标变换
$$\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\alpha_1\\ r\sin\alpha_1\cos\alpha_2\\ \vdots\\ r\sin\alpha_1\cdots\sin\alpha_{n-2}\sin\alpha_{n-1}\end{pmatrix},$$可见 $x^2_2+\cdots+x^2_n=r^2\sin^2\alpha_1$，所以归纳下去，只有 $\alpha_{n-1}\in [0,2\pi)$，其他 $\alpha_i\in [0,\pi]$.
练习题 22.2.4.14 把图画对，注意区分线段和弧，根据积分上下限、被积函数的几何意义来换元。
练习题 24.1.3.1(5) 选择最简单的参数进行参数化，避免表达式复杂。
无穷级数理论
Riemann 重排定理，Cauchy
收敛判别法：Cauchy 收敛定理、Abel 判别法（收敛+单调有界）、Dirichlet 判别法（部分和有界+单调趋于零）
绝对收敛判别法：Weierstrass 判别法（绝对收敛）
一致收敛等价判别法：Cauchy 一致收敛准则、上确界判别法（求最大差距）、Abel 判别法（部分和单调一致有界）、Dirichlet 判别法（部分和一致有界、单调一致趋于零）
一致收敛判别法：Weierstrass 判别法（充分条件）、Dini 判别法（紧区间、单增、部分和与极限函数连续）、对角线判别法（必要条件）
- 端点病态：不一致收敛判别（端点连续、发散）、 一致连续命题（极限函数不连续、部分和函数连续）
紧区间一致收敛判别法：Bendixom 判别法（导函数一致有界、原函数收敛）
Abel 求和变换
单调函数的性质：单调收敛定理（有界单调函数收敛）、
参考题（谢惠民）
- 例题 14.1.8
Fourier 分析
收敛性质
对于 $[-\pi,\pi]$ 上的可积或广义可积函数 $f$，其 Fourier 系数定义为
$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\mathrm dx.$$Fourier 级数形式地定义为
$$f\sim S[f](x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{inx},$$- 如果 $f\in [-\pi,\pi]$ 是一致收敛的三角级数，则 $S[f]=f$.
- 求解 Fourier 系数：用三角基计算，用指数基计算，从其导函数的 Fourier 倒推（需要分解为可延拓函数）