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Manifold

Reference: Introduction to Smooth Manifolds by John M. Lee. A topological space $M$ is a topological manifold of dimension $n$ if $M$ is locally Euclidean of dimension $n$, where locally Euclidean means that for every point $p \in M$, there exists an open neighborhood $U$ of $p$ in $M$ and a homeomorphism $\varphi: U \to B^n$, then we obtain a set of such charts $\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}$ called a topological atlas on $M$. ...

分析力学

Euler-Lagrange 方程 $$\dfrac {\mathrm d}{\mathrm dt} \dfrac {\partial L}{\partial \dot q_i} - \dfrac {\partial L}{\partial q_i} = 0.$$ 正则动量 $$p_i = \dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i},\quad \dot p_i = \dfrac {\partial L}{\partial q_i}.$$ Hamiltonian，可以对于正则 Lagrangian 定义 $$H(q,p,t) = \sum_i p_i \dot q_i - L(q, \dot q, t)=\sum_i p_i \dot q_i - L(q, p, t).$$ Hamilton 方程 $$\dot q_i = \dfrac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot p_i = -\dfrac{\partial H}{\partial q_i},\quad \dfrac{\partial H}{\partial t} = -\dfrac{\partial L}{\partial t}.$$ 相空间作用量原理* ...

Sobolev 空间和弱导数

$W^{m,p}$ 回忆广义函数空间 $\mathcal D(\Omega)$ 上的对偶元素构造。给定任意 $f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$，存在线性映射 $$T:\mathcal D(\Omega)\to \mathcal D^*(\Omega),\quad \varphi\mapsto\left(T_f:\varphi\mapsto \int_{\Omega} f\varphi\mathrm dx\right).$$在 Lebesgue 意义下（默认）是单射： $T$ 是单射：对任意 $f,g\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$，如果 $T_f=T_g$，则 $f=g$. 这等价于说明 $T_f=0$，即 $$\langle T_f,\varphi\rangle = \int_{\Omega} f\varphi\mathrm dx=0,\quad \forall \varphi\in \mathcal D(\Omega),$$ 可以推出 $f=0$，这是变分法基本引理的 Lebesgue 版本。考虑截断空间和 Friedrichs 磨光核，则 $$f*\rho_\varepsilon(x)=\int_{\Omega} f(y)\rho_\varepsilon(x-y)\mathrm dy=\langle T_f,\rho_\varepsilon(x-\cdot)\rangle=0$$ 接下来只需证明，对于任意有界开集 $U\subseteq\Omega$，有 $\|f\|_{L^1(U)}=0$，这是因为 $$f(x)-f*\rho_\varepsilon(x)=\int_{\Omega} (f(x)-f(x-y))\rho_\varepsilon(y)\mathrm dy,$$ 因此有 Minkowski 不等式 $$\|f-f*\rho_\varepsilon\|_{L^1(U)}\leq \int_{\Omega} \|f(\cdot)-f(\cdot-y)\|_{L^1(U)}\rho_\varepsilon(y)\mathrm dy\leq \sup_{|y|\leq \varepsilon} \|f(\cdot)-f(\cdot-y)\|_{L^1(U)}.$$ 由 $L^1$ 的平移连续性，取 $\varepsilon\to 0$，结合 $f*\rho_\varepsilon=0$ 即可。我们还需要指出，$L^p(\Omega)\subseteq L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$，对任意 $1\leq p\leq \infty$，这是因为 Hölder 不等式 ...

Workshop

传递、混合、压缩、扩张设 $f:S\to S,\ g:T\to T$ 是连续映射，如果有同胚 $h:S\to T$ 使得 $h\circ f=g\circ h$，则称 $f,g$ 拓扑共轭，$h$ 是共轭映射；如果除去 $h$ 的同胚条件，只保留满射，则称 $g$ 是 $f$ 的因子，$h$ 是半共轭映射。稠密与周期考虑 $S^1\cong \mathbb R/\mathbb Z$ 上的旋转映射（这等价于） $$x\mapsto x+\alpha\mod 1.$$ 根据有理性分类轨道： $$\# \mathcal O(x)=\begin{cases}\infty, & \alpha\in \mathbb R\setminus \mathbb Q,\\[6pt]<\infty, & \alpha\in \mathbb Q.\end{cases},\quad \forall x\in S^1.$$ 特别地，由 Weyl 定理，$\overline {\mathcal O(x)}=S^1$ 当且仅当 $\alpha\in \mathbb R\setminus \mathbb Q$. 设 $f\in C(X)$，如果存在 $x\in X$ 使得双向轨道 $\mathcal O(x)=\{f^n(x)\}_{n\in\mathbb Z}$ 在 $X$ 中稠密，则称 $f$ 是拓扑传递的；如果对于任意 $x\in X$，都有 $\overline {\mathcal O(x)}=X$，则称 $f$ 是拓扑极小的。其中 $f$ 不一定是同胚，因此 $f^{-n}$ 表示取 $n$ 次原像。 ...

调和函数与极值原理

极值原理弱极值原理强极值原理调和函数设 $\Omega \subseteq \mathbb R^d$ 是开区域，如果 $u\in C^2(\Omega)$ 满足 $\Delta u=0$，则称 $u$ 是 $\Omega$ 上的调和函数，记作 $u\in \mathcal H(\Omega)$。调和函数是 Laplace 方程的解，继承其性质。球面平均性球面平均性：如果 $u\in \mathcal H(\Omega)$，则对任意 $r\in (0,R]$ 和 $x\in \Omega$ 满足 $B_R(x)\subseteq \Omega$，有 $$u(x)=\frac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} u(y)\mathrm dS=\dfrac 1{|B_r(0)|}\int_{B_r(x)} u(y)\mathrm dy=: h(x;r).$$ 反过来，如果 $u\in C^2(\Omega)$ 在 $x\in \Omega$ 满足上述球面平均性，则 $\Delta u(x)=0$. 从连续性出发 $$u(x)=\lim_{r\to 0}\frac 1{|\partial B_r(0)|}\int_{\partial B_r(x)} u(y)\mathrm dS=\lim_{r\to 0}\dfrac 1{|\partial B_1(0)|}\int_{\partial B_1(0)} u(x+ry)\mathrm dS=:\lim_{r\to 0} h(x;r).$$ 考虑含参积分 ...

偏微分方程习题 12

参考资料：《数学物理方程讲义》，姜礼尚。 pp212.15 设 $u\in C^3_0(\Omega)$ 且满足 $$-\Delta u=f(x),\quad x\in\Omega,$$ 证明 $$\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u^2_{x_ix_j}\mathrm dx\leq n\int_\Omega f^2\mathrm dx.$$解：考虑到其紧支性，作分部积分，再由光滑性交换偏导次序 $$\begin{darray}{ll}\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u^2_{x_ix_j}\mathrm dx&=\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_j}u_{x_ix_j}\mathrm dx\\[14pt]&=-\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_jx_j}u_{x_i}\mathrm dx\\[14pt]&=\sum^n_{i,j=1}\int_\Omega u_{x_ix_i}u_{x_jx_j}\mathrm dx\\[14pt]&=\int_\Omega \Delta^2 u\mathrm dx\\[14pt]&=\int_\Omega f^2\mathrm dx.\end{darray}$$这应更严格。 pp212.16 设 $\Omega=\{(x,y):0...

分析力学习题 10

问题 1：对称陀螺的 Liouville 可积性考虑一个绕固定点自由旋转的对称陀螺（无平动，仅含转动自由度）。设固定点为 $O$，陀螺关于其对称轴的转动惯量为 $I_3$，关于垂直于对称轴的两个主轴的转动惯量相等，$I_1=I_2$。用 Euler 角 $(\phi,\theta,\psi)$ 描述陀螺的取向，其中 $\phi$ 为进动角，$\theta$ 为章动角，$\psi$ 为自转角。在 Euler 角下，对称陀螺的 Hamiltonian 为 $$H(\phi,\theta,\psi,p_\phi,p_\theta,p_\psi) = \frac{p_\theta^2}{2I_1} + \frac{(p_\phi - p_\psi \cos\theta)^2}{2I_1 \sin^2\theta} + \frac{p_\psi^2}{2I_3},$$ 其中正则动量为 $$p_\phi = \dfrac {\partial L}{\partial \dot \phi},\quad p_\theta=\dfrac {\partial L}{\partial \dot \theta},\quad p_\psi=\dfrac {\partial L}{\partial \dot \psi}.$$(a) 指出 $H$ 中不出现的循环坐标，并写出相应的守恒量。验证它们确实是运动常数。 (b) 写出该系统的三个守恒量 $F_1,F_2,F_3$（其中一个为 $H$ 本身）。显式计算它们两两之间的 Poisson 括号，证明它们相互对合： $$\{F_i,F_j\}=0,\quad i,j=1,2,3.$$(c) 论证这三个守恒量是函数独立的，从而得出结论：该对称陀螺是 Liouville 可积的。解： (a) Hamiltonian $H$ 中显式不出现的循环坐标是 $\phi,\psi$，对应的守恒量为 $p_\phi,p_\psi$，现在用 Poisson 括号验证它们是运动常数，这里标号 $\phi,\psi,\theta$ 分别为 $1,2,3$，则 ...

Pi Agent 包源码逐行解读 — agent-loop.ts & agent.ts

Pi Agent 包源码逐行解读本文对 packages/agent/src/ 下的 agent-loop.ts（~700 行）和 agent.ts（~540 行）做逐行级的代码解读，涵盖每个函数的设计意图、类型系统、控制流和错误处理策略。目录文件概览 agent-loop.ts 逐行解读类型与导入 agentLoop / agentLoopContinue — 公开入口 runAgentLoop / runAgentLoopContinue — 异步底层 runLoop — 核心双层循环 streamAssistantResponse — LLM 流式调用 executeToolCalls — 工具调度 executeToolCallsSequential / Parallel — 串行与并行 prepareToolCall — 前置管道 executePreparedToolCall — 工具执行 finalizeExecutedToolCall — 后处理辅助函数 agent.ts 逐行解读类型与导入 MutableAgentState 与 createMutableAgentState PendingMessageQueue Agent 类 — 构造器 subscribe — 事件订阅 prompt — 发起对话 continue — 继续对话 steer / followUp — 消息队列 abort / waitForIdle / reset — 生命周期控制私有方法：runPromptMessages / runContinuation runWithLifecycle — 并发控制 handleRunFailure — 失败处理 finishRun — 运行终结 processEvents — 事件归约 createContextSnapshot / createLoopConfig — 适配层设计模式总结文件概览 packages/agent/src/ ├── agent-loop.ts # 无状态循环引擎（~700 行，纯函数） ├── agent.ts # 有状态封装层（~540 行，Agent 类） ├── types.ts # 类型定义（~400 行） ├── proxy.ts # HTTP 代理（~320 行） ├── index.ts # 导出入口（~8 行） ├── agent-learn.ts # 学习相关 ├── agent-loop-learn.ts └── README.md 核心分界线： ...

Pi-Architecture: Agent

Pi Agent 包架构 packages/agent/src/ 实现了 Pi 框架中的 Agent 运行时，用于构建工具增强型 LLM 对话代理（Tool-Augmented LLM Agent）。整个包由五个模块组成：文件职责行数 types.ts 类型定义层 ~400 agent-loop.ts 无状态循环引擎 ~700 agent.ts 有状态封装层 ~540 proxy.ts 代理流式函数 ~320 index.ts 导出入口 8 架构总览 graph TD App[外部应用] subgraph "Agent 包" Index[index.ts 导出入口] subgraph "类型系统" Types[types.ts AgentMessage / AgentEvent AgentLoopConfig / AgentTool] end subgraph "管理层 agent.ts" Agent[Agent 类 状态管理 / 队列 / 并发 / 事件] Queue[PendingMessageQueue steering / follow-up 队列] State[MutableAgentState 状态归约] end subgraph "引擎层 agent-loop.ts" Engine[LoopEngine runAgentLoop / runLoop] LLMCall[streamAssistantResponse LLM 调用] ToolExec[executeToolCalls 工具执行] end subgraph "HTTP 代理 proxy.ts" Proxy[streamProxy 代理流式函数] end end subgraph "LLM 核心库 @earendil-works/pi-ai" AI[streamSimple / Model Message / Tool] end App --> Agent Agent --> Engine Agent --> Queue Agent --> State Engine --> LLMCall Engine --> ToolExec LLMCall --> AI Proxy -- 替代 streamFn --> Agent Agent -.-> Types Engine -.-> Types 分层设计无状态引擎 vs 有状态封装 Agent 包的核心设计思想是将引擎逻辑与状态管理分离： ...

分析力学习题 9

问题 1：两粒子系统与质心运动考虑一维空间中质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的两个粒子，它们通过仅依赖于相对距离的势能相互作用： $$H(q_1, q_2, p_1, p_2) = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + V(q_1 - q_2),$$(a) 通过计算 $\{G,H\}$，证明总动量 $$G=p_1 + p_2$$ 是一个守恒量。 (b) 质心坐标定义为 $$Q_{\mathrm{cm}}=\dfrac {m_1 q_1 + m_2 q_2}{m_1 + m_2}.$$ 证明量 $$G'=(m_1+m_2)Q_{\mathrm{cm}}-(p_1 + p_2)t$$ 也是守恒的。 (c) 解释 $G'$ 守恒的物理意义。解： (a) $H$ 作为 Hamiltonian，满足 $$\dfrac {\partial H}{\partial p_1} = \dfrac{p_1}{m_1}, \quad \dfrac{\partial H}{\partial p_2} = \dfrac{p_2}{m_2},\quad \dfrac{\partial H}{\partial q_1} = V'(q_1 - q_2), \quad \dfrac{\partial H}{\partial q_2} = -V'(q_1 - q_2).$$ 所以 ...