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问题 1：周期 Toda 链（$A_1$ 型） $A_1$ 型周期 Toda 链（最简单的秩一情形）描述两个在圆周上运动、通过指数型最近邻势相互作用的粒子。设 $q_1,q_2$ 为它们的坐标，$p_1,p_2$ 为对应的共轭动量。Hamilton 量为 $$H(q_1,q_2,p_1,p_2) =\frac {p_1^2} {2} + \frac {p_2^2} {2} + e^{q_2 - q_1} + e^{q_1 - q_2}.$$(a) 写出 Hamilton 的正则方程 $$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}.$$(b) 证明总动量 $P = p_1 + p_2$ 守恒。 (c) 引入质心与相对坐标 $$Q = \frac{q_1 + q_2}{2}, \quad q = q_1 - q_2,\quad P = p_1 + p_2, \quad p = \frac{p_1 - p_2}{2}.$$ 用这些新变量写出 Hamilton 量，并求出运动方程。 ...

参考资料：《数学分析习题课讲义》（第 2 版），谢惠民。

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