$W^{m,p}$

回忆广义函数空间 $\mathcal D(\Omega)$ 上的对偶元素构造。给定任意 $f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$，存在线性映射

$$T:\mathcal D(\Omega)\to \mathcal D^*(\Omega),\quad \varphi\mapsto\left(T_f:\varphi\mapsto \int_{\Omega} f\varphi\mathrm dx\right).$$

在 Lebesgue 意义下（默认）是单射：

$T$ 是单射：对任意 $f,g\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$，如果 $T_f=T_g$，则 $f=g$.

这等价于说明 $T_f=0$，即

$$\langle T_f,\varphi\rangle = \int_{\Omega} f\varphi\mathrm dx=0,\quad \forall \varphi\in \mathcal D(\Omega),$$

可以推出 $f=0$，这是变分法基本引理的 Lebesgue 版本。考虑截断空间和 Friedrichs 磨光核，则

$$f*\rho_\varepsilon(x)=\int_{\Omega} f(y)\rho_\varepsilon(x-y)\mathrm dy=\langle T_f,\rho_\varepsilon(x-\cdot)\rangle=0$$

接下来只需证明，对于任意有界开集 $U\subseteq\Omega$，有 $\|f\|_{L^1(U)}=0$，这是因为

$$f(x)-f*\rho_\varepsilon(x)=\int_{\Omega} (f(x)-f(x-y))\rho_\varepsilon(y)\mathrm dy,$$

因此有 Minkowski 不等式

$$\|f-f*\rho_\varepsilon\|_{L^1(U)}\leq \int_{\Omega} \|f(\cdot)-f(\cdot-y)\|_{L^1(U)}\rho_\varepsilon(y)\mathrm dy\leq \sup_{|y|\leq \varepsilon} \|f(\cdot)-f(\cdot-y)\|_{L^1(U)}.$$

由 $L^1$ 的平移连续性，取 $\varepsilon\to 0$，结合 $f*\rho_\varepsilon=0$ 即可。

我们还需要指出，$L^p(\Omega)\subseteq L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$，对任意 $1\leq p\leq \infty$，这是因为 Hölder 不等式

$$\|f\|_{L^1(U)}\leq \|f\|_{L^p(U)}\cdot \|\chi_U\|_{L^{p'}(U)}<\infty,$$

在更大的空间 $\mathcal D^*(\Omega)\supseteq L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)\supseteq L^p(\Omega)$ 中，我们已经定义过广义导数 $D_iT\in \mathcal D^*(\Omega)$

$$\langle D_iT,\varphi\rangle:=-\langle T,\partial_i \varphi\rangle,\quad \forall \varphi\in \mathcal D(\Omega),\ T\in \mathcal D^*(\Omega).$$

且与经典导数相容。我们对 $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ 说 $D^\alpha f\in L^p(\Omega)$，指的是存在 $g\in L^p(\Omega)$，使得 $D^\alpha T_f=T_g$，即

$$(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega} f\partial^\alpha \varphi\mathrm dx=\int_{\Omega} g\varphi\mathrm dx,\quad \forall \varphi\in \mathcal D(\Omega).$$

此时 $g$ 被称为 $f$ 的 $\alpha$ 阶弱导数，记作 $D^\alpha f$.

对于开集 $\Omega\subseteq \mathbb R^n$，定义 Sobolev 空间

$$W^{m,p}(\Omega):=\{u\in L^p(\Omega): D^\alpha u\in L^p(\Omega),\ \forall |\alpha|\leq m\},\quad 1\leq p\leq \infty,$$

为具有不超过 $m$ 阶的弱导数全体的函数集，配备范数

$$\|u\|_{W^{m,p}(\Omega)}:=\begin{dcases}\left[\sum_{|\alpha|\leq m}\int_{\Omega} |D^\alpha u|^p\mathrm dx\right]^{\frac 1p}, & 1\leq p<\infty, \\[14pt] \max_{|\alpha|\leq m}\|D^\alpha u\|_{L^\infty(\Omega)}, & p=\infty.\end{dcases}$$

特别地，$H^m(\Omega):=W^{m,2}(\Omega)$，$W^{0,p}(\Omega)=L^p(\Omega)$.

在 $H^m(\Omega)$ 中，有内积

$$\langle u,v\rangle_{H^m(\Omega)}:=\sum_{|\alpha|\leq m}\int_{\Omega} D^\alpha u\cdot D^\alpha v\mathrm dx.$$

只有在 $p=2$ 时，Sobolev 空间才是 Hilbert 空间；对于任意 $1\leq p<\infty$，$W^{m,p}(\Omega)$ 是 Banach 空间。虽然

$$\|u\|_{m,p}=\sum_{|\alpha|\leq m}\|D^\alpha u\|_{L^p(\Omega)},\quad 1\leq p\leq \infty,$$

是等价范数，但这与 Hilbert 空间的内积范数不相容。不过考虑这个等价范数的好处是，将多重指标 $\alpha$ 作为指标，分区控制。具体而言，为了不增加维数，定义不交并空间

$$\Omega^{(m)}:=\bigsqcup_{|\alpha|\leq m} \Omega_\alpha,\quad \Omega_\alpha=\Omega,$$

定义映射 $P: W^{m,p}(\Omega)\to L^p(\Omega^{(m)})$，平铺 $u$ 的全体 $|\alpha|\leq m$ 阶弱导数

$$P(u)=U,\ U|_{\Omega_\alpha}=D^\alpha u(x),\quad \forall |\alpha|\leq m.$$

所以 $P$ 是等距嵌入，记嵌入像为 $W:=P(W^{m,p}(\Omega))\subseteq L^p(\Omega^{(m)})$。

$W^{m,p}(\Omega)$ 的完备性：$W^{m,p}(\Omega)$ 是 Banach 空间。

只需证明完备性，对于 $W^{m,p}(\Omega)$ 中的 Cauchy 列 $\{u_k\}$，$\{D^\alpha u\}$ 是 $L^p(\Omega)$ 中的 Cauchy 列，根据 $L^p(\Omega)$ 的完备性，存在

$$u_k\xrightarrow{\|\cdot\|_{L^p(\Omega)}} u,\quad D^\alpha u_k\xrightarrow{\|\cdot\|_{L^p(\Omega)}} u_\alpha,\quad \forall |\alpha|\leq m.$$

下面说明 $u_\alpha$ 是 $u$ 的 $\alpha$ 阶弱导数，即 $D^\alpha u=u_\alpha$，考虑

$$T_{u_\alpha}(\varphi)=\lim_{n\to\infty}T_{D^\alpha u_n}(\varphi)=\lim_{n\to\infty}(-1)^{|\alpha|}T_{u_n}(\partial^\alpha \varphi)=(-1)^{|\alpha|}T_u(\partial^\alpha \varphi)=T_{D^\alpha u}(\varphi)$$

应用 Hölder 不等式说明上述极限交换，从而说明

$$u\in W^{m,p}(\Omega),\quad u_n\xrightarrow{\|\cdot\|_{W^{m,p}(\Omega)}} u.$$

从而，$W$ 是 $L^p(\Omega^{(m)})$ 的闭子空间。据此，有从 $L^p(\Omega)$ 推出的基本框架

$W^{m,p}(\Omega)$ 的基本性质：

  • 当 $p=2$ 时，$H^m(\Omega)$ 是 Hilbert 空间。
  • $W^{m,p}(\Omega)$ 是可分空间，当 $1\leq p<\infty$ 时；$W^{m,\infty}(\Omega)$ 是不可分空间；
  • $W^{m,p}(\Omega)$ 是自反空间，当 $1

$W^{-m,p}(\Omega)$

$W^{-m,p}(\Omega)$ 的定义是在研究 $W^{m,p}(\Omega)$ 的对偶空间 $W^{m,p}(\Omega)^*$ 的过程中引入的。

$W^{m,p}(\Omega)^*$：对于任意 $1\leq p<\infty,\ L\in W^{m,p}(\Omega)^*$，存在 $v\in L^{p'}(\Omega^{(m)})$，使得

$$L(u)=\sum_{|\alpha|\leq m}\langle D^\alpha u,v_\alpha\rangle,\quad \forall u\in W^{m,p}(\Omega).$$

并且

$$\|L\|_{W^{m,p}(\Omega)^*}=\min \|v\|_{L^{p'}(\Omega^{(m)})},$$

如果 $1 $$\Phi: W^{m,p}(\Omega)^*\to L^{p'}(\Omega^{(m)}),\quad L\mapsto v,\quad \|L\|_{W^{m,p}(\Omega)^*}=\|v\|_{L^{p'}(\Omega^{(m)})}.$$

取 $m=0,\ p=2$，则定理退化为 $L^2(\Omega)$ 上的 Riesz 表示定理。

定理证明的想法沿用等距嵌入 $P$ 的思路，考虑 $L^*\in W^*\subseteq L^p(\Omega^{(m)})^*$，将其拉回

$$L^*(Pu)=L(u),\quad \forall u\in W^{m,p}(\Omega).$$

那么由等距同构

$$\|L^*\|_{W^*}=\|L\|_{W^{m,p}(\Omega)^*},$$

Hahn-Banach 定理说明存在 $\hat L^*\in L^p(\Omega^{(m)})^*$，使得 $\hat L^*|_{W^*}=L^*$，且

$$\|\hat L^*\|_{L^p(\Omega^{(m)})^*}=\|L^*\|_{W^*}=\|L\|_{W^{m,p}(\Omega)^*}.$$

当 $1\leq p<\infty$ 时，对 $L^p(\Omega^{(m)})^*$ 应用对偶空间的结论，就存在 $v\in L^{p'}(\Omega^{(m)})$，使得

$$\hat L^*(U)=\langle U,v\rangle=\sum_{|\alpha|\leq m}\langle D^\alpha u,v_\alpha\rangle,\quad \forall U=Pu\in W^*,$$

而只有当 $1

至此

$$W^{m,p}(\Omega)^*\cong_\mathrm{isom} L^{p'}(\Omega^{(m)})=:W^{-m,p'}(\Omega).$$

$W^{1,p}(\Omega)$

pp.7 Remark

可分性 pp.7

稠密性质

对于 $L^p(\Omega)=W^{0,p}(\Omega)$，实分析给出的一个结论是

$L^p(\Omega)$ 的稠密集：对于任意 $1\leq p<\infty$，

$$\overline{C^\infty_0(\Omega)}^{\|\cdot\|_{L^p(\Omega)}}=L^p(\Omega).$$

考虑紧子集序列 $\Omega_k\subseteq \overline {\Omega_k}\to \Omega$，其中

$$\Omega_k:=\{x\in \Omega: \mathrm{dist}(x,\partial \Omega)>k^{-1},\ |x| 则对任意 $f\in L^p(\Omega)$，考虑截断函数 $f_k=f\chi_{\Omega_k}$，应用 Lebesgue 控制收敛定理

$$\lim_{k\to\infty}\|f-f_k\|^p_{L^p(\Omega)}=\lim_{k\to\infty}\int_{\Omega\setminus \Omega_k} |f|^p\mathrm dx=0.$$

因此命题化归为证明 $C^\infty_0(\Omega)$ 在 $L_0^p(\Omega)$ 中稠密，此时考虑对截断函数磨光

$$\hat f_{k}:=f_k*\rho_{(2k)^{-1}}(x)\in C^\infty_0(\Omega),$$

则 $\mathrm{supp} \hat f_{k}\subseteq \overline {\Omega_k}+\overline B_{(2k)^{-1}}(0)\subseteq \Omega$，并且

$$\hat f_{k}-f_k=\int_{B_\varepsilon(0)} (f_k(x-y)-f_k(x))\rho_\varepsilon(y)\mathrm dy.$$

因此有 Minkowski 不等式

$$\|\hat f_{k}-f_k\|_{L^p(\Omega)}\leq \int_{B_\varepsilon(0)} \|f_k(\cdot-y)-f_k\|_{L^p(\Omega)}\rho_\varepsilon(y)\mathrm dy\leq \sup_{|y|\leq \varepsilon} \|f_k(\cdot-y)-f_k\|_{L^p(\Omega)}.$$

由 $L^p$ 的平移连续性，取 $\varepsilon\to 0$ 即可。

对于 $W^{1,p}(\Omega)$ 乃至 $W^{m,p}(\Omega)$，需要对边界进行一定的控制。对于有界开集 $\Omega\subseteq \mathbb R^n$，称其具有 Lipschitz 边界，如果存在图册 $\{(\Omega_k,\varphi_k)\}_{k=0}^N$，满足

  • 内外覆盖条件： $$\Omega_0\subseteq \Omega\subseteq \overline {\Omega}\subseteq \bigcup_{k=0}^N\Omega_k,$$
  • 温和边界条件：$\varphi_k:\Omega_k\to B_1(0)$ 是双射，且 $\varphi_k,\varphi_k^{-1}$ 都是 Lipschitz 连续的；对 $k\geq 1$ $$\varphi_k(\Omega\cap \Omega_k)=B_1(0)\cap \mathbb R^n_+,\quad \varphi_k(\partial \Omega\cap \Omega_k)=B_1(0)\cap \partial \mathbb R^n_+.$$

这说明边界局部是 Lipschitz 连续的图像，不会出现尖点等病态情况。以 $W^{1,p}(\Omega)$ 为例

$W^{1,p}(\Omega)$ 的稠密集：如果 $\Omega$ 为 $\mathbb R^n,\ \mathbb R^n_+$ 或者具有 Lipschitz 边界的开集，则对于任意 $1\leq p<\infty$，

$$\overline{C^\infty_0(\Omega)}^{\|\cdot\|_{W^{1,p}(\Omega)}}=W^{1,p}(\Omega).$$

此外，对于任意 $1\leq p\leq \infty$，存在连续映射 $K:W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}(\mathbb R^n)$，使得

$$K(u)|_{\Omega}=u,\quad \forall u\in W^{1,p}(\Omega).$$

连续性建立在范数诱导的拓扑上。对 $W^{m,p}(\Omega)$ 也有类似的第一结论，不过需要更高阶的边界正则性。

…………

对于第二部分的证明

再考虑 $p=\infty$ 的情况

对于 $C^\infty_0(\Omega)$ 在 $W^{m,p}(\Omega)$ 中是否稠密，上述定理说明了 $\Omega$ 本身性质的重要性。对于闭集 $F\subseteq \mathbb R^n$，称其是 $(m,p')$-极小的，如果满足 $\mathrm{supp} T\subseteq F$ 的分布 $T\in W^{-m,p'}(\mathbb R^n)$ 只有零分布。

稠密性质 II

因此在积分意义下，可以定义 $L^p(\Omega)$ 中的导数：对任意 $f\in L^p(\Omega)$，如果存在序列 $\{u_k\}\subseteq C^1(\overline \Omega)$，使得

$$u_k\xrightarrow{\|\cdot|_{L^p(\Omega)}} u,\quad \nabla u_k\xrightarrow{\|\cdot\|_{L^p(\Omega)}} v,$$

则称 $u$ 关于 $x$ 具有一阶强广义微商，记作 $v_j=\partial_j u$；这个叫法基于广义函数：

$$(v_j,\varphi)=(\partial_j u,\varphi)=-\int_{\Omega} u\partial_j \varphi\mathrm dx,\quad \forall \varphi\in C^\infty_0(\Omega).$$

定义 $H^1(\Omega)$ 表示 $L^2(\Omega)$ 中具有一阶强广义微商的函数集，配备范数，对任意 $u\in L^2(\Omega)$ 有

$$\|u\|_{H^1(\Omega)}:=\left[\int_{\Omega} |u|^2\mathrm dx+\int_{\Omega} |\nabla u|^2\mathrm dx\right]^{\frac 12}.$$

称为 Sobolev 空间 $H^1(\Omega)$；一般地，定义 $H^k(\Omega)$ 表示 $L^2(\Omega)$ 中具有 $k$ 阶强广义微商的函数集，配备范数，对任意 $u\in L^2(\Omega)$ 有

$$\|u\|_{H^k(\Omega)}:=\left[\sum_{|\alpha|\leq k}\int_{\Omega} |\partial^\alpha u|^2\mathrm dx\right]^{\frac 12}.$$

其中 $\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 是多重指标。引入 $H^1(\Omega)$ 的一个闭子空间

$$H_0^1(\Omega):=\overline{C_0^1(\Omega)}^{\|\cdot\|_{H^1(\Omega)}}.$$