题目来源于 @penta_math，仅供学习交流使用。原题目为日文版本，由 DeepSeek-V4-Flash 翻译。
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设 $n$ 为自然数。求 $2026^{-n}$ 用 45 进制循环小数表示时的循环节长度。
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将所有面都是正三角形的凸多面体称为三角面多面体。回答以下问题。
- 证明三角面多面体的面数是不小于 4 且不大于 20 的偶数。
- 证明不存在面数为 18 的三角面多面体。
第 3 题 (20 分)
由数列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 定义如下：
$$a_0 = a_1 = 1, \quad a_{n+2} = \sin a_{n+1} \cos a_n$$回答以下问题。
- 证明 $(a_n)$ 收敛，并求出其极限 $\alpha$。
- 求出使得 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{\beta}(a_n - \alpha)$ 收敛于非零值的实数 $\beta$，并进一步求出此时的极限值。
第 4 题 (20 分)
称 $E \subset \mathbb{R}^3$ 为椭球体，是指存在正定对称矩阵 $A \in \mathbb{R}^{3\times 3}$ 和点 $b \in \mathbb{R}^3$，使得
$$E = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid (x - b)^{\mathsf{T}} A^{-1} (x - b) \leq 1\} \tag{$\star$}$$此时称 $b$ 为椭球体 $E$ 的中心。又，称椭球体 $E$ 内接于四面体 $V$，是指 $V$ 的 4 个面分别与 $E$ 相切，且 $E$ 的中心位于 $V$ 的内部。回答以下问题。
- 对于由式 $(\star)$ 给出的椭球体 $E$，以及用 $c \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$、$d \in \mathbb{R}$ 表示为 $F := \{x \in \mathbb{R}^3 \mid c^{\mathsf{T}} x = d\}$ 的平面，证明以下两者等价：
- (i) $E$ 与 $F$ 相切。
- (ii) $c^{\mathsf{T}} A c = (c^{\mathsf{T}} b - d)^2$。
- 设 $V$ 为 $\mathbb{R}^3$ 内体积为 1 的四面体，设 $W$ 为内接于 $V$ 的椭球体中心可能存在的区域。求 $W$ 的体积。
第 5 题 (20 分)
设 $n, t, T$ 为自然数，记 $[n] := \{1, 2, \ldots, n\}$ 等，对于数列 $(x_t)_{t=0}^{T} \subset [n]$，定义
$$N_{i,j}(t) := \#\{s \in [t] \mid x_{s-1} = i,\ x_s = j\}, \quad N_i(t) := \#\{s \in [t] \mid x_{s-1} = i\}$$又，定义
$$\mathcal{P} := \left\{ P \in [0,1]^{n \times n} \;\middle|\; \forall i \in [n],\ \sum_{j=1}^{n} P_{i,j} = 1 \right\}$$并取矩阵 $P_t \in \mathcal{P}$ 为
$$(P_t)_{i,j} := \frac{N_{i,j}(t-1) + 1}{N_i(t-1) + n}$$进一步，对于 $P \in \mathcal{P}$，记 $\ell_t(P) := -\log P_{x_{t-1}, x_t}$（并约定 $\log 0 := -\infty$）。回答以下问题。
证明下式：
$$\min_{P \in \mathcal{P}} \sum_{t=1}^{T} \ell_t(P) = -\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} N_{i,j}(T) \log \frac{N_{i,j}(T)}{N_i(T)}$$证明下式：
$$\sum_{t=1}^{T} \ell_t(P_t) = \sum_{i=1}^{n} \log \left( \binom{N_i(T) + n - 1}{n - 1} \binom{N_i(T)}{N_{i,1}(T), \ldots, N_{i,n}(T)} \right)$$证明下式：
$$\sum_{t=1}^{T} \ell_t(P_t) - \min_{P \in \mathcal{P}} \sum_{t=1}^{T} \ell_t(P) \leq n(n-1) \log \left( \frac{T}{n} + n - 1 \right)$$
以上